Géométrie(s) - cours 2025-2026

Les mathématiciens de la Grèce Antique semblent s'être convaincus, par régression vers des propriétés très simples, qu'on peut ramener la preuve de toutes les propriétés des figures géométriques à un petit nombre d'entre elles.

Les Élements d'Euclide (IIIème s. av. J.-C.) semblent vouloir fonder la géométrie sur un ensemble de définitions et d'axiomes. Ils sont organisés de la manière suivante :
• livres I à IV : géométrie plane
• livres V à X : proportions, grandeurs, arithmétique
• livres XI à XIII : géométrie dans l'espace

Cette année nous allons nous concentrer principalement sur la partie géométrie et en particulier nous interroger sur ses fondements et leur remise en cause.

Contenu du livre I (Web)
contenu du livre I (local)

Au début du livre I on trouve les définitions et des axiomes sous le nom de demandes.
Parmi les définitions on a :
● Le point est ce qui n'a aucune partie.
● La ligne est une longueur sans largeur.
● Les extrémités d'une ligne sont des points.
● La ligne droite est celle qui est également placée entre ses points
En général on extrait ensuite du livre I la liste des 5 postulats (axiomes) de la géométrie euclidienne.

La sphère est vue comme plongée dans l'espace à 3 dimensions et non comme une surface intrinsèque. Dès lors les géomètres grecs puis arabo-musulmans utilisent pour l'étudier les méthodes de la géométrie euclidienne.
Ne pouvant pas estimer facilement la distance des astres à la Terre, les astronomes de l’Antiquité se contentaient de mesurer la direction dans laquelle ils les observaient. Ils les considéraient donc comme des points sur la sphère céleste et essayaient de les repérer les uns par rapport aux autres. Pour mener à bien ce travail, il leur était nécessaire de savoir calculer avec les triangles dessinés sur une sphère. Les philosophes-mathématiciens de la Grèce classique avaient étudié ce problème dès le IVe siècle avant J.-C., mais comme souvent, les traités de cette époque ne nous sont pas parvenus.
Les sphériques, un ouvrage écrit par le mathématicien et astronome alexandrin Menelaus vers 100 après J.-C, est le plus complet des traités de géométrie sphérique arrivé jusqu’à nous.

On voit que dans la géométrie sphérique les éléments et les axiomes diffèrent de ceux de la géométrie euclidienne.
Cette géométrie contredit plusieurs postulas d'Euclide, pas seulement le cinquième. Un des enjeux de la géométrie non euclidienne sera de trouver des géométries qui ne contredisent que le cinquième.
Cependant, avant le XIXème siècle, les géomètres ne semblent pas en général avoir associé ces différences aux questionnements datant de l'Antiquité sur le cinquième postulat d'Euclide.

perspective : de per (à travers) et specere (regarder)
Mathématiquement la perspective est une projection centrale (de centre l'œil O) de l'espace ou d'une partie de l'espace (ici une cube) sur un plan : le plan du tableau, ici GHIF.
Si on observe deux droites parallèles dans le réel notre œil les voit converger en un point du champ visuel.
Il a pourtant fallu beaucoup d’audace aux peintres du XVème siècle pour représenter un point de convergence à l’infini par un point ordinaire sur le tableau.
Les règles de la perspective qu'ils découvrent peu à peu sont :
• une droite est représentée par une droite,
• deux droites parallèles sont représentées par deux droites sécantes, sauf si elles sont parallèles à l'horizon,
• une conique est représentée par une conique.
perspective - illusion (web)
parallélépipède en perspective (web)
carrelage en perspective (web)
parabole en perspective (web)
perspective et coniques (web)

Les concepts de ce qui va se constituer au XIXème siècle en une nouvelle géométrie vont apparaître au XVIIème siècle à travers la convergence de recherches issues de la perspective de la Renaissance et de l'étude des propriétés depuis l'Antiquité..
En cherchant à unifier droites parallèles et sécantes, Girard Desargues pose les bases d’une géométrie qui neutralise la différence entre le fini et l’infini. Desargues introduit un espace clos, qui contient le plan ordinaire mais où toutes les droites sont sécantes, y compris les droites parallèles.

La représentation qu'on avait des points à l'infini était assez ambiguë et peu satisfaisante. Le sujet disparaît ensuite et réapparait au XIXème siècle avec Möbius, Plucker, Chasles, Klein, von Staudt, Cayley, ...
On va alors voir émerger des représentations diverses de cette notion de point à l'infini.

On voit que dans la géométrie projective les éléments et les axiomes diffèrent de ceux de la géométrie euclidienne. Cependant, comme pour la géométrie sphérique, les géomètres avant le XIXème siècle ne l'ont pas associé aux questionnements datant de l'Antiquité sur le cinquième postulat d'Euclide.

"Même Dieu, bien qu'il soit tout puissant et qu'il jouisse d'une liberté infinie, n'aurait rien pu créer qui aurait contredit la logique d'Aristote et la géométrie d'Euclide"
[Moïse Maïmonide, 1196]

"Il faut noter pourtant que si Dieu existe, s’il a créé vraiment la terre, il l’a faite, comme on sait, d’après la géométrie d’Euclide, et n’a donné à l’esprit humain que la notion des trois dimensions de l’espace. Cependant, il s’est trouvé, il se trouve encore des géomètres et des philosophes, même éminents, pour douter que tout l’univers et même tous les mondes aient été créés seulement suivant les principes d’Euclide. Ils osent même supposer que deux parallèles, qui suivant les lois d’Euclide ne peuvent jamais se rencontrer sur la terre, peuvent se rencontrer quelque part, dans l’infini. J’ai décidé, étant incapable de comprendre même cela, de ne pas chercher à comprendre Dieu. J’avoue humblement mon incapacité à résoudre de telles questions : j’ai essentiellement l’esprit d’Euclide, un esprit terrestre : à quoi bon vouloir résoudre ce qui n’est pas de ce monde ? Et je te conseille de ne jamais te creuser la tête là-dessus, mon ami Aliocha, surtout au sujet de Dieu."
[Dostoîevski, Les Frères Karamazov, 1880]

"L'hypothèse de l'aigu est absolument fausse, car elle répugne à la nature de la ligne droite."
[Saccheri, Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide lavé de toute tache), 1733]
(l'hypothèse de l'aigu est une configuration que Saccheri avait construite se déduisant de la négation du cinquième postulat)

"Il ne faut pas tenter cette approche des parallèles. Je connais ce chemin jusqu'au bout. J'ai traversé cette nuit sans fond, qui a éteint toute lumière et toute joie de ma vie. Je vous en prie, laissez la science des parallèles tranquille... Je pensais me sacrifier pour la vérité. J'étais prêt à devenir un martyr qui enlèverait le défaut de la géométrie et la rapporterait purifiée à l'humanité. J'ai accompli des travaux monstrueux, énormes ; mes créations sont bien meilleures que celles des autres et pourtant je n'ai pas atteint une satisfaction complète... Je me suis retourné en arrière quand j'ai vu qu'aucun homme ne peut atteindre le fond de cette nuit. Je me suis retourné sans consolation, en me plaignant de moi-même et de toute l'humanité. Apprenez de mon exemple : j'ai voulu savoir ce qu'est un parallèle, je reste ignorant, cela m'a pris toutes les fleurs de ma vie et tout mon temps."
[Lettre de Farkas Bolyai à son fils Janos, 1823]

"Oserait-on qualifier d'astrologie les Élements d'Euclide, cette oeuvre jouissant d'une autorité incontestée depuis plus de deux mille ans ? Mais, si on le l'ose pas, alors c'est la géométrie non euclidienne qui doit être classée parmi les pseudo-sciences (astrologie, alchimie)"
[Frege, 1925]

"A partir du néant, j'ai créé un nouveau monde"
[Janos Bolyai, lettre à son père, 1823]

"Les axiomes ne sont pas des énoncés synthétiques, ni des énoncés à priori, ni des faits expérimentaux. Ce sont des conventions."
"Que doit-on penser de la question est-ce que la géométrie euclidienne est vraie ? Elle n'a aucun sens."
"Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre, elle peut seulement être plus commode"
[Henri Poincaré, La science et l'hypothèse, 1902]

"La libération du carcan de l'espace et du temps est une aspiration du poête et du mystique, mais ce sont les mathématiciens qui l'ont réalisée."
[Eddington]

texte complet du livre I des Éléments d'Euclide (web)
Les définitions

● les 4 premières définitions ne permettent pas de décider rigoureusement ce qu'est un point et ce qu'est une droite ; en particulier il n'est pas dit que c'est le plus court chemin d'un point à un autre
● la définition du cercle (15) ne suffit pas pour justifier l'existence de l'intersection des deux cercles dans la démonstration de la proposition I
Les demandes et les axiomes
Par exemple
● les demandes 2 et 11 par exemple vont être problématiques pour la construction des géométries non euclidiennes.
● la démonstration de la transitivité du parallélisme requiert le cinquième postulat (dans la version actuelle de Proclus-Playfair).
● Les preuves des 28 premiers théorèmes du livre I n'utilisent pas ce cinquième postulat

Le cinquième postulat, surtout dans sa première formulation, apparaît assez rapidement comme moins évident, moins naturel, plus complexe que les 4 autres. Les mathématiciens vont se demander s'il n'est pas possible de le démontrer à partir des quatre autres.

Ces démonstrations consistent à essayer de prouver le fait que nier ce cinquième postulat aboutit à une contradiction (preuve par l'absurde).

Vers la fin du XVIIIème siècle la situation est la suivante : la réflexion sur le cinquième postulat a surtout porté sur les tentatives de démonstration de la vérité ou de la nécessité de ce postulat,
● soit en essayant de le déduire des autres, (problème de complétude et d'indécidabilité)
● soit en essayant de démontrer que le nier aboutit à une contradiction. (problème de cohérence)
Dans le premier cas les erreurs ont porté surtout sur un cercle vicieux : en essayant de le démontrer on l'utilise de manière implicite, sans s'en rendre compte.
Dans le deuxième cas la contradiction n'était pas convaincante, elle portait sur la "non-naturalité" des conséquences obtenues. On s'aperçoit alors que l'obstacle provient de la représentation de ce qu'est une droite (qui ne peut pas être courbe, alors que la définition qu'en donne Euclide ne permet pas en réalité une telle contrainte sur cette représentation).
Au XIXème siècle, certains mathématiciens (Gauss, puis Bolyai, Lobatchevski...) vont se convaincre qu'on ne peut pas démontrer le cinquième postulat.
La différence entre Gauss, Bolyaĩ, Lobatchevski et leurs prédécesseurs est qu'ils ne veulent pas démontrer que la négation du cinquième postulat conduit à une contradiction, mais qu'elle permet de créer de nouveaux mondes.
Mais le refus ou l'incapacité d'accepter la possibilité que l'espace physique puisse être décrit par une géométrie "non euclidienne" les empêche de rendre publics leurs travaux ou va engendrer dans un premier temps un rejet de ces travaux.

Gauss, Lobatchevski et Bolyai vont prendre au sérieux l'hypothèse consistant de la possibilité de développer une géométrie dans laquelle le cinquième postulat serait abandonné. Tous le trois vont aboutir à la conclusion que c'est possible sans contradiction. Gauss lui-même ne va pas publier ses résultats de son vivant, conscient des critiques qui ne manqueraient pas de lui être opposées dans ce contexte encore très prégnant de l'acceptation des Élements d'Euclide.
Tous les trois vont obtenir des résultats importants pour ce qu'on appellera ensuite les géométries euclidiennes. Cependant, dans un premier temps, leur travail ne sera pas considéré comme convaincant, en particulier parce que leurs travaux ne permettaient pas de "concrétiser" ces théories en un modèle, ce qui sera fait un peu plus tard par Beltrami, Klein, Poincaré, ...
Rien ne leur permettait de prouver la consistance de leur nouvelle géométrie, c'est à dire le fait que les axiomes choisis ne risquent pas d'engendrer une contradiction à un moment ou à un autre.
C'est la construction de modèles qui va prouver cette consistance. En particulier les modèles euclidiens de Klein et Poincaré montrent la consistance de la géométrie hyperbolique relativement à la géométrie euclidienne. La consistance de la géométrie euclidienne elle-même dépend de celle de la théorie des réels (via la géométrie analytique - voir Hilbert) qui elle même dépend de celle de l'arithmétiqe et donc, en dernière analyse de celle de la théorie des ensembles (qui ne peut pas être établie à l'intérieur de ZF d'après le théorème d'incomplétude de Gödel)

Avant 1813 Gauss (1777 - 1855), Gauss essayé lui aussi de démontrer le cinquième postulat en utilisant une preuve par l'absurde. Il se convainc ensuite peu à peu de l'existence non contradictoire d'une géométrie sans le cinquième postulat, à laquelle il parvient vers 1831, qu'il appelle successivement géométrie anti-euclidienne puis géométrie astrale et enfin géométrie non-euclidienne.
Il n'a jamais publié ses recherches car il craignait de ne pas être compris :
"J'appréhende les clameurs des Béotiens, si je voulais exprimer complètement mes vues."
[Lettres de Gauss à Bessel (concernant la non-publication de ses travaux sur la géométrie non euclidienne), 1829]

Gauss savait que la somme \(S\) des angles d'un triangle sphérique de rayon 1 dépasse 180°, et que : \(S-\pi = A\) où \(A\) est l'aire du triangle sphérique.
Il "devine" l’existence d’une surface, en quelque sorte duale de la sphère, dans laquelle la somme des angles d’un triangle est cette fois inférieure à 180 degrés.
En particulier on peut penser que pour construire son modèle (qu'il n'a jamais divulgué publiquement), Gauss a été fortement influencé par ses travaux de cartographie et par conséquent par ses réflexions sur la géométrie de la sphère et la notion de courbure des surfaces. Il a en particulier tenté de mesurer la somme des angles d'un triangle dont les sommets étaient 3 montagnes distantes de plusieurs dizaines de kilomètres : il a trouvé un excès sur 180° de quelques secondes d'arcs qui n'était pas significatif au regard des erreurs de mesures. Une tentative similaire et non significative sera faite par Lobatchevski en utilisant la parallaxe de Sirius..

Le jeune mathématicien hongrois János Bolyai (1802-1860) travaille, sans rencontrer de contradiction logique, sur la construction d'une géométrie, qu'il nomme géométrie absolue et qu'on appelle maintenant géométrie hyperbolique dans laquelle le cinquième postulat d'Euclide est remplacé par : Par un point extérieur à une droite il passe une infinité de parallèles à cette droite
géométrie hyperbolique Bolyai Lobatchevski (web)
Il publie ces travaux en 1832 dans un appendice à un livre de mathématiques de son père, Farkas Bolyai, lui-même mathématicien et ami de Gauss.
En 1848 il découvre qu'un mathématicien russe, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) avait publié en 1837 un article intitulé Géométrie imaginaire ou Pangéométrie en y développant une géométrie quasi-identique.

"Étrange géométrie, tout à fait différente de la nôtre, entièrement conséquente en elle-même" [Gauss]
Comme l'avait prévu Gauss, qui n'a pas publié ses propres travaux (antérieurs à ceux de Bolyai) sur ce sujet, ces résultats rencontrent peu d'écho.

Ils ne seront pris en considération qu'à partir de 1860, en particulier avec la publication posthume des travaux de Gauss et les travaux de Beltrami qui a construit, dans le cadre de la géométrie différentielle de Gauss, des "modèles" de cette géométrie : la pseudosphère, l'hyperboloïde

Il s'agit d'un modèle à courbure constante, mais avec des singularités ; d'après un théorème de Hilbert, il n'existe pas dans \(\mathbb{R}^{3}\) de modèle sans singularité à courbure constante (négative) de la géométrie hyperbolique)
L'existence de ce modèle est pour Beltrami une preuve de consistance de la géométrie non euclidienne, mais ce n'est pas un modèle global.
Cette pseudosphère est un modèle local de la géométrie hyperbolique : en tout point, sauf en son équateur où elle présente une singularité, la courbure est constante et négative.
pseudosphère (web)
droites sur la pseudosphère (web, dgpad)
milieux et médianes sur la pseudo-sphère (web, dgpad) ou https://www.dgpad.net/index.php?url=https://drive.google.com/file/d/1eQcB7NpoSVJ-wi-Vd45zj3MJA6s7EtC7/view?usp=drive_link
orthocentre sur la pseudo-sphère (web, dgpad) ou https://www.dgpad.net/index.php?url=https://drive.google.com/file/d/1FTGwlvAYLbRlrn2GnNj9vSqOkfcbts64/view?usp=drive_link

La question se pose de savoir si on peut trouver un modèle de la géométrie non euclidienne à 2 dimensions qui soit une surface sans singularité plongée dans l'espace à 3 dimensions (contrairement la pseudo-sphère de Beltrami, qui présente une singularité).
Remarque : la sphère a pour équation \(x^2+y^2+z^2=K\) ; c'est un ensemble réduit à un point si \(K=0\) et vide si \(K<0\) ; si on modifie l'équation en \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=K\) on obtient :
si \(K=0\) : un cône
si \(K=1\) : un hyperboloïde à une nappe, surface obtenue par la révolution d'une hyperbole autour de l'axe des \(z\) ; c'est une surface réglée. génération hyperboloide à une nappe (web)
si \(K=-1\): un hyperboloïde à 2 nappes, obtenu par révolution d'une hyperbole autour de l'axe des \(x\).
Beltrami va se concentrer sur le cas \(K=-1\), en conservant que la nappe supérieure, qui est en relation avec les travaux de Gauss, Bolyaï et Lobatchevski. C'est un modèle du plan hyperbolique.
hyperboloides (web)
Beltrami hyperboloide parallélisme (web)
équation \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\) ; on ne prend que le nappe supérieure \((z>0)\) ce qui donne \(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1\).
Les géodésiques sont les hyperboles intersections de l'hyperboloïde avec un plan quelconque passant par O. Ce sont les droites dans ce modèle de géométrie non-euclidienne appelée géométrie hyperbolique.
Il est difficile de raisonner et de construire des figures sur ce modèle ; on va se ramener par projection à des modèles plans.

Après avoir étudié le modèle de la pseudosphère pour la géométrie hyperbolique (c'est à dire la géométrie dans laquelle le cinquième postulat d'Euclide est remplacé par : par un point extérieur à une droite passe une infinité de parallèles à cette droite), modèle à courbure négative constante mais présentant un cercle de singularités, Beltrami va utiliser comme modèle l'hyperboloïde à deux nappes d'équation \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\) obtenu par révolution d'une hyperbole autour de l'axe des \(x\), en ne conservant que la nappe supérieure.
Celui-ci a l'avantage de ne pas avoir de singularité ; sa courbure est négative (pour la métrique de Minkowski) et non constante.
hyperboloïde de Beltrami (web)

Il est difficile de raisonner et de construire des figures sur ce modèle ; on va se ramener par projection à des modèles plans.

On va étudier 3 exemples dans le plan de modèles de la géométrie hyperbolique obtenus en projetant de différentes manières la nappe supérieure de l'hyperboloïde.

Ces 3 modèles ont été utilisés par Beltrami pour démontrer la consistance de la géométrie non-euclidienne relativement à la géométrie euclidienne. Ils ont été ensuite repris et développés par Klein, Poincaré et d'autres.

On va traiter dans l'ordre :
• le modèle \(\mathbb{D}\) du disque de Beltrami-Poincaré
• le modèle \(\mathbb{K}\) du disque de Beltrami-Klein
• le modèle \(\mathbb{H}\) du demi-plan de Beltrami-Poincaré
On notera \(\mathbb{M}\) le modèle de l'hyperboloïde de Minkowski dans \(\mathbb{R}^{3}\)

On projette l'hyperboloïde à partir de l'origine O sur le plan tangent au pole nord (0,0,1)
Ce n'est pas un modèle conforme : les angles ne sont pas conservés.
projection de l'hyperboloïde - modèle de Beltrami-Klein (web)
Dans la suite on va donc travailler dans ce modèle plan : modèle de Beltrami-Klein (vide) (ne fonctionne pas en local) (web)

Ce modèle, apparu en 1882 dans l'article de Poincaré Théorie des groupes fuchsiens, peut être obtenu comme projection orthographique de l'hyperboloïde à deux nappes.
Dans ce modèle, le monde hyperbolique est le demi-plan ouvert supérieur (de frontière l'axe des abscisses). Une droite est soit une droite perpendiculaire à l'axe des abscisses, soit un cercle perpendiculaire à l'axe des abscisses (c'est à dire un demi-cercle centré sur cet axe).
géométrie hyperbolique : demi-plan de Poincaré (web)

synthèse concernant la géométrie hyperbolique
En géométrie hyperbolique, l'hyperboloïde d'équation \(x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\) joue le rôle de la sphère unité en géométrie euclidienne. Les modèles plans sont des cartes (projections) de cette "sphère hyperbolique".
Les notions métriques associées (distance, angle, aire) sont en relation avec la forme quadratique de Minkowski \(x^{2}+y^{2}-z^{2}\) dont l'équivalent en dimension 4 va être à la base de la géométrie de la relativité restreinte.
modèles pour la géométrie hyperbolique : comparaison des projections

géométrie elliptique : projection de la sphère (web)
Dans un modèle construit par Cayley, Klein et Riemann, on part de l'idée qu'un point est un couple de points antipodaux sur la sphère et une droite est un grand cercle.
On peut réaliser un modèle de la géométrie elliptique en partant d'une sphère, mais on est obligé d'identifier les points diamétralement opposés.
On doit donc se restreindre à une demi-sphère, mais il faut que les points diamétralement opposés sur son grand cercle frontière soient identifiés. En projetant cette demi-sphère sur le plan de son cercle frontière on obtient un modèle plan de la géométrie elliptique : intérieur d'un cercle (C) dans lequel une droite passant par deux points A et B est un arc du cercle passant par A et B et coupant (C) en deux points diamétralement opposés (identifiés).
(ouvrir les fichiers suivants avec dgpad)
droite elliptique
segment elliptique
triangle elliptique

Soit (c) un cercle de centre O et de rayon r. Soient A et B deux points à l'intérieur de ce cercle.
Comment construire le cercle c' passant par A et B et coupant le cercle (c) en deux points diamétralement opposés (sur (c) ?
théorèmes
construction

Le raisonnement permettant de classifier les pavages du plan euclidien et du plan hyperbolique nous permet (en inversant les inégalités utilisées pour le plan hyperbolique) de démontrer qu'il existe 5 pavages réguliers pour la sphère, correspondants aux 5 polyèdres platoniciens.

Pour étudier les géométries non euclidiennes en dimension 2 nous sommes partis d'une surface (sphère ou hyperboloïde) plongée dans l'espace de dimension 3.
De le même manière, pour étudier les géométries non euclidiennes en dimension 3 il faut considérer des "variétés" (ou hypersurfaces) de dimension 3 plongées dans l'espace de dimension 4.
A la fin des années 70, William Thurston a énoncé la conjecture de géométrisation qui classifie les géométries possibles en dimension 3.
La démonstration de cette conjecture, en partie effectuée par Thurston lui-même, a été finalisée par Grigori Perelman en 2002 et 2003 qui a démontré le dernier cas qui restait : la conjecture de Poincaré.
Chaque variété de dimension 3 peut être décomposée en morceaux, chacun de ces morceaux ayant une géométrie de l'un des 8 types suivants :
• \(\mathbb{E}^{3}\) euclidienne : courbure nulle, espace infini plat
• \(\mathbb{S}^{3}\) elliptique (sphérique) : courbure positive, espace fini
• \(\mathbb{H}^{3}\) hyperbolique : courbure négative, espace infini
• \(\mathbb{S}^{2}\times\mathbb{E}\)
• \(\mathbb{H}^{2}\times\mathbb{E}\)
• \(\widetilde{\mathbb{SL2}}\)
• \(Nil\)
• \(Sol\)
voir la vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=Py4aFsJzChI&t=1235s (de 20:35 à 26:45) (local)

Riemann va théoriser les géométries non euclidiennes en dimension quelconque dans un cadre qu'on appelle maintenant géométrie riemannienne. Dans ces géométries on généralise la méthode euclidienne de calcul \(ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}\) de la longueur en écrivant \(ds^{2}=a.dx^{2}+b.dy^{2}\) où \(a\) et \(b\) sont des fonctions des coordonnées. On généralise aussi la notion de courbure : tenseur de courbure de Riemann-Christoffel.
La géométrie de Lobatchevski devient alors un cas particulier de géométrie riemannienne.
À la fin du XIXème siècle, Riemann donne une classification des géométries sur les surfaces en fonction de leur courbure.

Felix Klein va proposer une définition de la géométrie (ou des géométries) fondée sur les notions de groupe de transformations et d'invariant en mettant en évidence la généralité du cadre projectif et la considération de l'ensemble des géométries dans ce cadre.

Avec l'avènement de la géométrie non-euclidienne, on passe d'une géométrie science des figures à une géométrie science de l'espace.
Ce passage avait déjà été initié par exemple dans la perspective et en physique chez Copernic, chez Giordano Bruno.

Toutes les sciences mathématiques ... ne sont ni abstraites des choses naturelles [ce qui serait la position aristotélicienne] ni ne sont dans notre imagination [position néo-platonicienne], ni dans l'intellect [position platonicienne] mais l'espace est leur sujet.
[Francesco Patrizi, Della nuova geometria (1595)]

Newton, même s'il concevait la notion d'espace, appréhendait la géométrie comme le science des objets contenus dans cet espace, mais ne concevait pas l'espace comme objet de cette géométrie.

Dans sa correspondance avec Samuel Clarke, en 1715 et 1716, Leibniz développe une théorie de l'espace, élaborée vers 1688 au moment de sa lecture critique des Principia de Newton ; l'espace est conçu comme une substance et un système de relations entre situations (point de vue critiqué par Newton comme étant tautologique). Ceci lui permet de définir pour l'espace des propriétés d'homogénéité, d'uniformité, de continuité, ...
Leibniz avait un projet géométrique : l'analysis situs, qui n'a été publié que plus tard. L'espace y est conçu comme l'ensemble des relations mutuelles de distance entre les points (analogue à notre notion d'isométrie).

La découverte (ou l'invention!) des géométries non-euclidiennes, la démonstration via les modèles euclidiens de leur cohérence, vont poser un double problème, d'ordre logique et d'ordre physique, conduisant vers de nouvelles conceptions de la géométrie.

Les questions qui se posent : modèle planaire ou non, fini ou non, à courbure constante ou non ?
quelques réponses : pour les surfaces il n'y a que 3 cas différenciés par la courbure ; en dimension 3 il y a 8 géométries possibles (Thurston, Perelman).

Dans l'Antiquité et jusqu'au XIXème siècle la question des modèles ne se pose pas, il n'y a qu'une géométrie, c'est la géométrie enclidienne basée sur l'intuition locale). Le seul questionnement à ce sujet porte sur le statut du cinquième postulat : peut-il être démontré ? A de très rares exceptions près, sa négation n'est pas envisageable.
Ce qui a convaincu les mathématiciens à cette époque de la "réalité" des géométries non-euclidiennes, c'est l'existence de modèles.
Ceci s'était d'ailleurs dejà produit pour les nombres complexes et l'existence d'un modèle géométrique avec le plan d'Argand.
Et tout ceci va constituer le point de départ de la théorie des modèles qui va se développer au XXème siècle, en particulier avec Hilbert en géométrie (mais aussi dans la théorie des ensembles, en analyse et en arithmétique).

Le travail de Hilbert, dans ses fondements de la géométrie (1899) est à l’origine d’une réflexion en profondeur sur la démarche axiomatique, de la géométrie en particulier. La définition des objets premiers de la géométrie a toujours posé problème. Désormais, ce que l’on entend par les mots premiers (points, droites, incidence) relève d’une interprétation d’un système d’axiomes quand on fait correspondre aux mots premiers du système des objets mathématiques. On dit alors qu’une interprétation est un modèle quand tous les axiomes sont satisfaits.
Dans tout modèle d’un système d’axiomes, tout théorème déduit des axiomes est vrai et donc par contraposée, on a cette remarque élémentaire, mais efficace : si un énoncé est faux dans un modèle, alors il ne peut pas être démontré à partir des axiomes.

L'histoire n'est pas autre chose qu'une constante interrogation des temps révolus au nom des problèmes et curiosités et même des inquiétudes et des angoisses du temps présent qui nous entoure et nous assiège... Avoir été est une condition pour être.
[F. Braudel, La Méditerranée (1977)]

Comment en est-on arrivé là ? Comment est-on passé d'une géométrie unique, "naturelle", "évidente" (la géométrie euclidienne) à une pluralité de géométries ?

Par des arguments purement logiques, les mathématiciens vont mettre en évidence qu'une géométrie vérifiant les quatre premiers axiomes mais pas le cinquième n'engendre aucune contradiction.
Par contre il faut abandonner la représentation mentale que l'on se fait des objets (les droites par exemple) définis par la théorie.
Dans la géométrie hyperbolique de Lobatchevski, le "plan" est remplacé par un disque et les "droites" par des cercles. On peut à priori s'interroger sur le caractère artificiel de ce modèle mais Poincaré en donne une interprétation physique.
Conclusion

• une théorie ne se construit pas par empilements successifs mais par incorporations successives de paradigmes de plus en plus généraux.
  
• la géométrie n'est pas une science figée. Elle est actuellement très active et intervient désormais dans tous les domaines des mathématiques : géométrie euclidienne, complexe, riemannienne, algébrique, diophantienne, tropicale, symplectique, analytique, différentielle, ...
  

Avec les critères de rigueur actuels, les Éléments d'Euclide ne peuvent pas être considérés comme constituant une axiomatique rigoureuse de la géométrie :

• les définitions et notions de base font appel à une représentation intuitive non formalisée
  
• certaines démonstrations sont basées sur des propriétés non explicitées
  

Par exemple, la première proposition - qui consiste à constuire un triangle équilatéral à partir d'un segment - est basée implicitement sur l'existence des points d'intersection des deux cercles utilisés.
A partir du XIXème siècle, les mathématiciens comme Legendre, Pachs, ... vont essayer de préciser cette axiomatisation.